微分の定義と導関数

微分法は、関数の局所的な変化率を調べるための強力な道具です。

微分の定義

関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ は、以下の極限で定義されます。

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

この値は、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の傾きを表しています。

導関数

任意の $x$ に対して微分係数を対応させる関数を導関数と呼びます。

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

基本的な関数の微分

代表的な関数の導関数をいくつか挙げます。

1. $f(x) = x^n \implies f'(x) = nx^{n-1}$
2. $f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x$
3. $f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x$

幾何学的な意味

微分係数が正であれば関数は増加しており、負であれば減少しています。 また、$f'(x)=0$ となる点は極値をとる候補となります。