集合論の基礎

数学を厳密に記述するためには、「集合（Set）」という概念が不可欠です。

集合とは

集合とは、いくつかのものをひとまとめにしたものです。集合に含まれる一つ一つのものを「要素（Element）」と呼びます。

空集合

要素を一つも持たない集合を「空集合（Empty Set）」と呼び、記号 $\emptyset$ で表します。

$$\emptyset = \{ \}$$

部分集合

集合 $A$ のすべての要素が集合 $B$ の要素でもあるとき、$A$ は $B$ の「部分集合（Subset）」であるといい、$A \subseteq B$ と書きます。

$$\forall x, (x \in A \implies x \in B)$$

高校数学から現代数学へ

高校数学では具体的な数（整数、実数など）の集まりとして集合を扱いますが、現代数学ではより抽象的な対象の集まりを考え、その構造を分析していきます。